指数与对数的运算（指数与对数的运算技巧）

一、教材分析

教材截图

（考虑到部分教师未有2019版课本，这里对教材截个图）

教材分析：

1．内容：

对数的运算性质以及换底公式．

2．内容解析：

数及其运算是推动数学发展的重要源泉和动力之一，是数学的基石．在对数的概念中，我们了解到：指数与对数存在着不可分割的关系，因此对数运算与指数幂运算也是紧密相连的．

对数的运算性质是进行对数计算的重要依据．指数幂运算和对数运算是两类重要的运算，指数幂运算源于数的自乘，对数则是指数幂中指数的等价表示形式，因此，利用指数运算性质可以得出相应的对数运算性质：

上述对应关系可从下面的推导过程中实现：

对数概念的提出，进一步的完善了数学运算体系．在算术运算中，运算有等级之分，加法、减法为一级运算，乘法、除法为二级运算，乘方、开方、对数为三级运算．从上述对数运算性质中，我们可以清晰地认识到对数在处理运算中的降级特征：对数中真数的乘、除、乘方运算，可以转化为对数的加、减、乘法运算．当然，对于这一特征的理解，还是要结合指、对数的关系进行：在指数式中，真数即为幂，对数即为指数，指数幂运算中的“同底数幂相乘”即为“真数相乘”，“指数相加”即为“对数相加”．

数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数和自然对数．现在，利用计算工具，也可以直接求出任意正数的常用对数和自然对数．对数的换底公式是进行对数运算的重要基础，利用此公式可将其他底的对数转化为以10或e为底的对数，从而方便地求出这些对数．

因此，本节课的教学重点是：以“指数与对数的关系”为指引，学习和应用对数的运算性质以及换底公式．

二、目标与目标解析

1.目标：

（1）经历对数运算性质的形成过程，理解对数的运算性质，体会对数运算的降级特征；

（2）经历换底公式的形成过程，理解换底公式，体会换底公式在对数求值中的作用；

（3）可以利用对数的运算性质、换底公式解决问题，发展数学运算核心素养．

2.目标解析：

（1）学生知道对数的运算与指数幂运算的关系，能在明晰指数幂的运算性质的基础上推导得出对数的运算性质，在应用的过程中结合数学史的相关内容体会对数运算的降级特征，理解数学家发明对数的初衷；

（2）学生能指出换底公式的作用，能推导得出换底公式；

（3）学生会用对数的运算性质解决问题，能进行对数间的化简、运算，会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．

三、教学问题诊断分析

本节课第一个学习难点是对数的运算性质的推导，学生对于对数的运算性质的困惑主要在于对于对数概念的不熟悉，为了解决此问题，还是要紧扣指、对数之间的关系，结合指数幂的运算性质进行学习．在三个运算性质中，教师可以引导第一个性质的推导，其余的性质由学生仿照得出，在推导的过程中，可以将指数幂和对数的运算性质对照列出，以便学生理解．

第二个学习难点是对数的换底公式的推导，教科书为此设计了一组探究活动．教学时，可以充分利用这组探究活动，使得学生逐步感受提出换底公式的必要性，经历由特殊到一般的过程推导得出换底公式．

四、教学重点、难点

重点：以“指数与对数的关系”为指引，学习和应用对数的运算性质以及换底公式．

难点：

1.对数的运算性质的推导;

2.对数的换底公式的推导;

五、数学学科素养

1.数学抽象：对数的运算性质；

2.逻辑推理：换底公式的推导；

3.数学运算：对数运算性质的应用；

4.数学建模：在熟悉的实际情景中，模仿学过的数学建模过程解决问题.

六、教学过程：见《研讨素材二》

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