指数与对数讲解（指数与对数视频讲解）



1、难点9指数函数、对数函数问题指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题难点磁场1 x 1()设 f(x)=log2 1 -x ,F(x)=2 -x +f(x).试判断函数f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；n(2)若f(x)的反函数为f1(x),证明：对任意的自然数 n(n>3),都有f1(n)> n +1;若F(x两反函数F1(x),证明：方程F1(x)=0有惟一解.案例探究例1已知过原点 。的一条直线与函数 y=log8x的图象交于 A、B两点，分别过点 A、B作y 轴的平行线与函数

2、y=log2x的图象交于C、D两点.证明：点C、D和原点O在同一条直线上；(2)当BC平行于x轴时，求点 A的坐标.命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力.属级题目.知识依托：(1)证明三点共线的方法：kOC=kOD.(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1),即可求得A点坐标.错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A的坐标.证明：设点 A、B的横坐标分别为x1、x2,由题意知：x1>1,x2>1,则A、B纵坐标分别

3、为10g8%10g8x21og8x1,1og8x2.因为A、B在过点 O的直线上，所以x1x2，点C、D坐标分别为log 8 Xi10g8x212 3lOg 8 X1 ,log 2 X2 - 12- -(x1,log2x1),(x2,log2x2)，由于 log2x1= 0g8=0g8310g8x2，所以 OC 的斜10g 2 Xi 310g 8 Xi率：k1= x2x1,10g2X2310g8X2OD的斜率：k2= x2x2,由此可知：k1=k2,即O、C、D在同一条直线上.1(2)解：由 BC平行于 x 轴知：10g2x1=1og8x2 即：10g2x1= 3 1og2x2，代入 x21o

4、g8x1=x11og8x2 得：x131og8x1=3x11og8x1，由于 x1>1 知 1og8x1 w 0,x13=3x1.又 x1>1, . x1= 3，则点 A 的坐标为(3 ,3 10g8 3).例2在xOy平面上有一点列 P1(a1,b1),P2(a2,b2),Pn(an,bn)，对每个自然数 n点Pn位于 a函数y=2000(10)x(0<a<1)的图象上，且点Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三 角形.求点Pn的纵坐标bn的表达式；(2)若对于每个自然数 n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；

5、设Cn=lg(bn)(n N*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列Cn前多少项的和最大？试说明理由.命题意图：本题把平面点列，指数函数，对数、最值等知识点揉合在一起，构成一个思维难度较大的综合题目，本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力.属级题目.知识依托：指数函数、对数函数及数列、最值等知识错解分析：考生对综合知识不易驾驭，思维难度较大，找不到解题的突破口技巧与方法：本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，并会运用相 关的知识点去解决问题.1_a_ n /解：由题意知：an=n+2 ,. bn=2000(10)2. a(2).函数 y=2000(10)x(0

6、<a<10)递减，. .对每个自然数n,有 bn>bn+1>bn+2.贝U以 bn,bn+1,bn+2a a I为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn,即(10 )2+( 10 )1>0,解得a<- 5(1 + '2 )或 a>5('5 -1).,. 5(，另一1)<a<10.、5. 5( 7 1)<a<10,. - a=771.bn=2000( 10 ) 2 .数列bn是一个递减的正数数列，对每个自然数n> 2,Bn=bnBn1.于是当 bn>1时，Bn<Bn1,当b

7、n<1时，Bn< Bn 1,因此数列Bn的最大项的项数 n满足不等式bn> 1 且 bn+1<1,由 bn=2000(V 得：nw20.8.，n=20.锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法有：(1)运用两种函数的图象和性质去解决基本问题.此类题目要求考生熟练掌握函数的图象和性质并能灵活应用.(2)综合性题目.此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力(3)应用题目.此类题目要求考生具有较强的建模能力.歼灭难点训练一、选择题1 .()定义在(一8 , + oo)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，如果 f(x)=lg(10

8、x+1)，其中 xC (oo, + oo)，那么()A.g(x尸x,h(x)=lg(10x+10 x+2)1 1B.g(x)=2 lg(10x+1)+x ,h(x)= 2 ：lg(10x+1)-xC.g(x)=2 ,h(x)=lg(10x+1) 2xxD.g(x)= 2 ,h(x)=lg(10x+1)+ 22 .( )当a>1时，函数y=logax和y=(1 a)x的图象只可能是()二、填空题2x (x>0)o-a43 .( )已知函数 f(x)= 10g 2(-x) (-2<X<0).则 f- 1(x 1)=.4 .( )如图，开始时，桶 1中有a L水，t分钟后剩

9、余的水符合指数衰减曲线y=ae nt,那么桶2中水就是y2=aaent,假设过5分钟时， 桶1和桶2的水相等，则再过 分钟桶1中的水只a 有8 .三、解答题5 .( )设函数f(x)=loga(x3a)(a>0且aw1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时，点Q(x2a,y)是函数y=g(x)图象上的点.(1)写出函数y=g(x)的解析式；(2)若当xC a+2,a+3时，恒有|f(x) - g(x)| < 1,试确定a的取值范围.16.(* )已知函数 f(x)=logax(a>0 且 aw1),(xC (0,+8)，若 x1,x2C (0,+8)，判断 2 f

10、(x1)+f(x2)Xi x2与出 2)的大小，并加以证明.7.()已知函数 x,y 满足 x> 1,yR 1.loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0 且 aw 1),求 loga(xy)的取值范围.11&.()设不等式2(log 5 x)2+9(log 2 x)+9 w 0的解集为 M,求当xCM 时函数 x xf(x)=(log2 2)(iog2 8)的最大、最小值.参考答案难点磁场1 x解：(1)由 1X >0,且 2XW 0 得 F(x)的定义域为(一1, 1),设一1vx1vx2v1,则12 -x9F(x2)F(x1)=(

11、211 x21 x1log2-log2 彳2 -'x1 )+(1 'x21 -'x1 )x2 - x1(2 - x1)( 2 - x2 )10g2(1 -%)(1 «2)(1x1 )(1 -'x2)x2 x1>0,2 x1>0,2 x2>0, ,上式第2项中对数的真数大于1.因此 F(x2)F(x1)>0,F(x2)>F(x1)jF(x)在(1 , 1)上是增函数.1 x1 x 2y -110g 2 7 ,x =-y-(2)证明：由 y=f(x)=1-x得：2y= 1 -x 2 +1 ,2x 一1 f-1(x)= 2x +

12、1 ” f(x)的值域为 R, f- 1(x)的定义域为 R.n2-1 n21. n= = 1 - 1 =2 2n 1当 n>3 时，f-1(n)> n+12+1n+12+1n+1 用数学归纳法易证 2n>2n+1(n > 3),证略.111证明：: F(0)= 2 ,.-. F- 1(2 )=0, x= 2 是 F 1(x)=0 的一个根.假设 F 1(x)=0 还有一个解 x0(x011丰2),则F-1(x0)=0，于是F(0)=x0(x0w 2 ).这是不可能的，故F-1(x)=0有惟一解.歼灭难点训练一、1.解析：由题意：g(x)+h(x)=lg(10x+1)又

13、 g(x)+h( x)=lg(10x+1).即一g(x)+h(x)=lg(10 x+1)由得：g(x)= 2 ,h(x)=lg(10x+1) 2 .答案：C2.解析：当a>1时，函数y=logax的图象只能在 A和C中选，又a>1时，y=(1a)x为减函数. 答案：Blog2 x(x±1)二、3.解析：容易求得f- 1(x)=12 (x<；1),从而：log2(x1),(x2)f 1(x 1)=J-2xA,(x<2).1og2(x1),(x 之2)x答案:-2xA,(x<2)14.解析：由题意，5分钟后，y1=aent,y2=a ae nt,y1=y2.

14、n= 5 ln2.设再过t分钟桶1中的aa水只有 8 ,则 y1=aen(5+t)= 8，解得 t=10.答案：10三、5.解：(1)设点 Q 的坐标为(x' ,y'),则 x' =x2a,y' =y.即 x=x' +2a,y= y'.1.,点 P(x,y而函数 y=loga(x3a)的图象上， y' =loga(x' +2a3a),即 y' =loga x -a , g(x)=loga x -a .11(2)由题意得 x- 3a=(a+2)-3a=-2a+2>0; x-a = (a +3) -a >0,又 a

15、>0且 aw1,. 0<a< 1, / |f(x)1一g(x)|=|loga(x 3a)- loga x -a |=|loga(x2 4ax+3a2)| |f(x) g(x)| < 1,. . - 1 < loga(x2 4ax+3a2)w 1, / 0V a< 1,/. a+2>2a.f(x)=x2 4ax+3a2在a+2,a+3上为减函数， 科(x)=loga(x2 4ax+3a2)在a+2,a+3上为减函数，从而 科(x) max=科(a+2)=loga(44a), (x) min=J0 :二 a 二 1doga(9-6a)>-1科(a+3

16、)=loga(9 6a),于是所求问题转化为求不等式组110g a(4 4a) £1的解.9-574由 loga(9-6a)>- 1 解得 0vaw 12，由 loga(4-4a)< 1 解得 0vaw 5 ,9-57所求a的取值范围是0vaw 12.6.解:f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2,Xix2 x1,x2 (0,+oo),x1x2<(2)2(当且仅当 x1=x2 时取“=”号)，XiX2)2,当 a>1 时，有 logax1x2w loga(1x1x21x1x2 2 Iogax1x2w loga( 2), 2 (lo

17、gax1+logax2)< loga 21x1 »x2即 2 f(x1)+f(x2) w f( 2)(当且仅当 x1=x2 时取“二”号)xx2当 0vav 1 时，有 logax1x2n loga(2)2,1x x21x1x2 2 (logax1+logax2)> loga 2，即 2 f(x1)+f(x2) > f( 2)(当且仅当 x1=x2 时取"="号).7.解：由已知等式得：loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax 1)2+(logay1)2=4,令u=logax,v=logay,k=lo

18、gaxy则(u 1)2+(v1)2=4(uv n 0),k=u+v.在直角坐标系 uOv 内，圆弧(u 1)2+(v1)2=4(uv> 0)与平行直线系v=u+k有公共点，分两类讨论.当u>0,v>0时，即a>1时，结合判别式法与代点法得1 + J§wkw2(1+2)；(2)当 uW0,vW0,即 0vav 1 时，同理得到 2(1 J2)w kw 1 J3 .x 综上，当 a>1 时，logaxy 的 最大值为2+2 J2,最小值为1+J3；当0vav 1时，logaxy的最大值为1 一 43 ,最小值为22 ,2 .log 1 log 18.解：2(x)2+9(2x)+9W0log 1log 1 (22 x+3)

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