研究对象受到确定性因素和随机性因素的影响.
随机因素可以忽略
→确定性模型
随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现
随机因素影响必须考虑→随机性模型
随机模型：概率模型（包含马氏链模型）、统计模型
概率模型
1）概率模型是一类比较简单的随机模型。主要是利用概率论的相关知识对问题进行研究，从而对所研究问题做出估计，推断，预测和决策。
2）概率模型主要用到的概率知识：概率的分布与计算、期望、方差等。
目录
1 传送系统的效率
2 报童的诀窍
3 航空公司的超额售票策略
4 作弊行为的调查和估计
5 轧钢中的浪费
6 博彩中的数学
7 钢琴销售的存贮策略
8 基因遗传
9 自动化车床管理
1 传送系统的效率
背景：
工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走
若工作台数固定,挂钩数量越多,传送带运走的产品越多
在生产进入稳态后，各个工作台的生产周期相同
问题：给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径
问题分析
进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假定工人们的生产周期相同，即每人做完一件产品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这件产品并立即投入下件产品的生产.
工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的，并且在一个周期内任一时刻的可能性相同.
可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品总数的比例作为衡量传送带效率的数量指标.
模型假设
1）n个工作台均匀排列，n个工人生产相互独立，生产周期是常数；
2）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在一个周期内是等可能的；
3）一周期内m个均匀排列的挂钩通过每一工作台的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的；
4）每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只挂钩，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走；若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统.
模型建立
定义传送带效率为一周期内运走的产品数（记作s,待定）与生产总数 n（已知）之比，记作 D=s /n
为确定s，从工人考虑还是从挂钩考虑，哪个方便？
工人？
分析每个工人将自己的产品挂上钩子的概率，要考虑工人所在的位置。并不可行
钩子？
稳态下钩子没有次序，处于同等地位。可行
若求出一周期内每只挂钩非空的概率p，则 s=mp
如何求概率 ：
每只挂钩被某一工人触到的概率为1/m
则每只挂钩不被某一工人触到的概率为1-1/m
根据独立性，则每只挂钩为空的概率为(1-1/m)^n
求得任一只钩子非空的概率为p=1-(1-1/m)^n
传送带的效率：D=s/n=mp/n=m[1-(1-1/m)n]/n
模型解释
传送带效率(一周期内运走产品数与生产总数之比）D=(m/n)[1-(1-1/m)^n]
若(一周期运行的)挂钩数m远大于工作台数n, 则
D≈(m/n)[1-(1-n/m+n(n-1)/2(m^2)]
定义E=1-D (一周期内未运走产品数与生产总数之比）
当n远大于1时, E n/2m ~ E与成n正比，与m成反比
例：n=10, m=40, D87.5% (89.4%)
模型评注
模型假设太过理想化，如假设生产周期相同，挂不上钩子的产品退出传送系统等。
模型给出了反效率E ≈ n /2 m ，即挂钩数量m增加一倍， E减小一倍。
提高传送带效率的另一途径是在原来放置一只钩子的位置放置了两只钩子，这种方法是否更好呢？（见本节复习题）
2 报童的诀窍
问题:
报童售报：买进价2元，零售价4元，退回价1元.
售出一份赚 2元；退回一份赔 1元.
每天买进多少份报纸零售才能使收入最大？
分析:
买进太多,卖不完退回,赔钱
买进太少,不够销售,赚钱少
取决于每天卖出多少份报纸.
存在一个合适的买进量
每天收入随机
优化问题的目标函数应是长期的日平均收入
与报童售报相同类型的实际问题
面包店每天清晨烘烤一定数量的面包出售，卖出一只获利若干，未卖出的面包因处理而赔钱
已知需求量的概率分布，确定每天烘烤面包的数量，以得到最高的日均利润.
出版社每年都要重印一次教科书，按照过去的销售记录，可以给出今年需求量的概率分布.
供过于求会因占用资金及廉价处理而蒙受损失，若供不应求，为保证学生用书必须临时加印导致成本增加. 怎样确定今年的印刷数量.
已知某种商品在供过于求和供不应求时所带来的收益或损失，已知需求量的概率分布，确定商品的数量使得平均利润最高.
离散型需求下的报童售报模型
售出100份报纸获利200元，退回100份损失100元.
报童售报离散型需求的概率分布
需求量(100份) 0 1 2 3 4 5
概率 0 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1
报童应买进多少份报纸, 才能获得最高的日均利润？
假设
每天买进q (⨉100)份报纸.
售出100份获利s1 ,退回100份损失s2.
每天需求量(100份) r 的概率 f(r), r=0,1,…,n
建模
供不应求 →q<r→售出获利 s1q→没有损失
供过于求→q>=r→售出获利 s1q→退回损失s2(qr)
求解
分析q增加时 从E(q)到E(q+1)的变化
若q < r（供不应求）, 多定100份，多获利s_1
若q ≥ r （供过于求）, 多定100份，亏s_2
E(q+1)−E(q)=s_1P(r>q)−s_2P(r≤q)
P(r>q)=1−P(r≤q)=s1−(s1+s2)P(r≤q)
E(q)的最大值在E(q+1) ─E(q)由正变负时达到.
售出100份获利s1 =200 , 退回100份损失s2 =100.
使P(r<=q)>=2/3 成立的最小值是q=3.
每天购进300份报纸可使日均利润E(q)达到最大
将q=3 代入E(q)表达式计算，得最大值E(q)=450元.
问题
如果报纸需求量以1份为单位，份数很多时将其视为连续型随机变量，用概率密度描述更为方便.
设需求量服从正态概率分布N(260,502).
报童售出1份报纸获利2元, 退回1份损失1元.
报童应买进多少份报纸, 才能获得最高的日均利润？
建模
p(r) ~ 报纸需求量的概率密度函数.
q ~ 买进数量，s1=2, s2=1.
已知s1, s2, p(r), 求买进数量q 使日均利润E(q)最大.
已知需求量服从正态概率分布N(260,502).
利用Matlab软件的逆正态分布函数命令 x = norminv (p, mu, sigma)
p=2/3, mu=260, sigma=50.→x=281.5409
每天购进282份报纸能获得最高的日均利润.
分析
p(r)~需求概率密度曲线
P ~ 虚线r=q左边曲线下的面积
E(q)达到最大的q值应使曲线p(r)下的面积满足E(q)=s1/(s1+s2)
获利s1变大, 虚线r=q右移.损失s2变大, 虚线r=q左移.
5 轧钢中的浪费
背景
轧制钢材两道工序
粗轧(热轧) ~ 形成钢材的雏形
精轧(冷轧) ~ 得到钢材规定的长度
粗轧钢材长度大于规定切掉多余 部分,整根报废
钢材长度正态分布
问题：如何调整粗轧的均值，使精轧的浪费最小.
分析
设已知精轧后钢材的规定长度为 l， 粗轧后钢材长度的均方差为 .
记粗轧时可以调整的均值为 m，则粗轧得到的钢材长度为正态随机变量，记作 x~N(m, ^2).
存在最佳的m使总的浪费最小
建模
选择合适的目标函数
总浪费 =切掉多余部分的浪费+整根报废的浪费
直接方法
粗轧一根钢材平均浪费长度
粗轧N根 成品材 PN根
总长度mN,成品材长度l PN
共浪费长度 mN-lPN
选择合适的目标函数
粗轧一根钢材平均浪费长度m-lP
粗轧N根得成品材 PN根
得到一根成品材平均浪费长度
优化模型：已知l ,, 求m 使J(m) 最小.
求解
已知l ,, 求m 使J(m) 最小.
已知, 求 z 使J(z) 最小
用MATLAB软件求出方程dJ/dz的根z，代入
得到m 的最优值.
例 设已知精轧后钢材的规定长度为 l=2(m), 粗轧后钢材长度的均方差为 =20(cm)，求粗轧时调整的均值m，使一根成品材的平均浪费长度最小.
解 λ=l/=10
用MATLAB软件求出极值点
得到最小值244.77
故平均浪费长度约为0.45(m)
程序
clc;clear;
syms z
y=(20*(10-z))/(1-normcdf(z,0,1));
dz=diff(y); %求导
jz=solve(dz,z) %驻点
ezplot(y,[-5,5]) %作图
评注
模型假定: 粗轧钢材长度小于规定长度l整根报废
改为新的假定(训练题5):
.粗轧钢材长度在规定长度[l1, l]内降级使用
粗轧钢材长度小于规定长度l1整根报废
日常生产、生活中的类似问题：
在随机因素影响下过程有两种结果，其损失(或收益)各有不同，综合考虑来确定应采取的决策，在统计意义下使总损失最小(或总收益最大).
作业
1. 面包店每天烘烤一定数量的面包出售，每只成本3元，以8元的价格卖出，晚间关门前将未卖完的面包无偿处理掉，若已知每天面包需求量的概率分布如下表，确定每天烘烤面包的数量，使得能够得到最高的日均收入，并这个收入是多少。
需求量/只 50 100 150 200 250
概率 0.2 0.3 0.2 0.2 0.1
2.在8.5节给出的例子中，若l=2.0不变，而均方差，χ=10cm,问均值m应为多大，每得到一根成品材的浪费量多大（与原来的数据相比较）
到此这篇ddpm模型公式（d-p模型）的文章就介绍到这了,更多相关内容请继续浏览下面的相关推荐文章，希望大家都能在编程的领域有一番成就！版权声明：
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