sigmoid函数求导表达式（sigmoid函数导数）



传递函数在电路中应用非常广泛，电路中很多计算公式都是通过传递函数的推导得到的，电路的幅频特性和相频特性也是通过传递函数得到的，所以传递函数在电路设计和理解电路上有很大的帮助。

一、传递函数的特点

零极点表达式为：

pi称为G(s)的极点，zi称为G(s)的零点。

假设我们有一个传递函数，其中变量s出现在分子和分母中。在这种情况下，至少一个s值将使分子为零，并且至少一个s值将使分母为零。使分子为零的值是传递函数零点，并且使分母为零的值是传递函数极点。

极点频率对应于角频率，在该角频率处，振幅曲线的斜率为-20dB /decade（十倍频程），相位曲线斜率为-45°/decade。

零点对应于一个角斜率，振幅曲线的斜率为20dB /decade，相位曲线斜率为45°/decade。

其实传递函数就是拉氏变换得到s 域的代数运算，而其中 s 是一个复数，其实部表示时间延迟，虚部表示频率。通过对 s 域的函数进行分析，处理上面提到的零极点，还可以得到信号的频率特性、相位特性等信息，从而更好地理解和处理信号。

那它是怎么得到频率特性、相位特性的呢？那就要从复数的概念说起。对于任意两个实数x,y,称z=x+jy为复数,其中x是实部,y是虚部，而j是为了区分电路中电电流i做的区分。

z=r(cosθ+jsinθ) 是z的三角形式，其中r称为复数z的绝对值或者模，θ称为幅角或者相角，它们的计算如下：

其中，r和θ就反应了幅频特性和相频特性。而极点零点就是幅频特性和相频特性波形上的一个转折点。

二、电路的传递函数

以上描述了，传递函数的特点。传递函数的特点可以让我们更好了解电路，但是一个电路的传递函数如何推导，成了一个问题。写电路的传递函数，用的方法就是复阻抗法。复阻抗是指在电路中，一个端口的电压相量与电流相量之比，通常用表示Z(s)。对于一个线性时不变系统，其输入端口和输出端口的复阻抗分别为和Zin（s）、Zout（s），那么该系统的传递函数可以表示为：

复阻抗可以降低计算的复杂度，不容易出错，也更方便我们分析电路。电阻，电容，电感的复阻抗如下表。

三、波特图

波特图是线性非时变系统的传递函数对频率的半对数坐标图（一个轴是分度均匀的普通坐标轴，另一个轴是分度不均匀的对数坐标轴），其横轴是频率，纵轴以对数尺度（logscale）表示，利用波特图可以看出系统的频率响应。波特图一般是由两张图组合而成，一张幅频图表示频率响应增益的分贝值对频率的变化，另一张相频图则是频率响应的相位对频率的变化。其实就是前面讲到的复数的幅频特性和相频特性。

波特图可以用电脑软件（如Multisim）或仪器绘制，也可以自行绘制。利用波特图可以看出在不同频率下，系统增益的大小及相位，也可以看出大小及相位随频率变化的趋势。

极点使得在幅频响应中，在截止频率 fp 之后，以 -20dB/dec 的速率下降，极点也使得在截止频点 fp 的前后都出现了相移，最大造成 -90 度的相移，在截止频率 fp 处，幅度会衰减 3dB ，相位会偏移 -45 度。

零点使得在幅频响应中，在截止频率 fc 之后，以 +20dB/dec 的速率上升，零点也使得在截止频点 fc 的前后都出现相移，最大造成 +90 度的相移，是在截止频率 fc 处，幅度会提升 3dB 相位会偏移 +45 度。

零极点对应的波特图

四、实例

RC低通滤波电路

在忽略负载情况下，从输入端看，R和C是串联，所以输入端复阻抗为：

从输出端看，复阻抗为：

所以RC低通滤波电路的传递函数为：

根据前面的传递函数零极点定义，这个函数有一个极点为为RCs+1=0⇒S=-1/RC ，那么该极点的频率为ωj=-1/RC，对ωj进行求模可以得到f=1/2πRC。

它的幅频特性为：

则

截止频率是在-3dB处，所以

所以

则

所以称f=1/2πRC为该电路的截止频率。

该电路的相频特性为：

在截止频率处，

因此我们可以画出它的波特图为：

RC低通滤波电路

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