智能优化算法--灰狼算法

简介

灰狼优化算法（GWO）模拟了自然界灰狼的领导和狩猎层级，在狼群中存在四种角色，$\alpha$狼负责领导是最具有智慧的在狩猎当中可以敏锐的知道猎物的位置，$\beta$狼可以认为是军师比较具有智慧比较能知道猎物的位置，$\delta$狼负责协助前两个层级的狼，最后是$\omega$狼负责跟从。

在狩猎（寻优）的过程中，狼群的这三种层级并不是一成不变的，也会根据各个狼的适应度（fitness）进行调整，适应度最强的狼将会成为新的$\alpha$狼，其次是$\beta$狼，依次类推。通过很多次的寻找猎物（寻优）中三个层级逐渐趋于稳定，这个时候我们取$\alpha$狼的位置作为猎物(最优解)所处的位置。

注意：注意智能优化算法都是在优化函数光滑性较差，容易落入局部最优时才使用的，不要乱用。智能优化算法的收敛是一种概率意义的收敛，所以得到的解并不一定绝对最优，并且往往收敛较慢。

算法

• Step1: 根据优化的问题，设计fitness函数(目标函数，默认的是极小化问题)，设置可行域
• Step2: 初始化狼群的个数N，每头狼的位置$X_i(i=1,...,N)$，并指定$\alpha ,\beta ,\delta$狼的位置$X_{\alpha },X_{\beta },X_{\delta }$, 以及它们对应的适应度$f_{\alpha },f_{\beta },f_{\delta }=$inf.
• Step3: 依次更新每头狼的位置。对于第$i$头狼，计算其与$\alpha ,\beta ,\delta$狼的距离
  $$\begin{array}{r}{D}_{\alpha }=|C_1\circ X_{\alpha }-X_i|,\\ D_{\beta }=|C_2\circ X_{\beta }-X_i|,\\ D_{\delta }=|C_3\circ X_{\delta }-X_i|,\end{array}$$
  并产生向三头狼移动的趋势项
  $$\begin{array}{r}{Q}_1=X_{\alpha }-A_1\circ D_{\alpha },\\ Q_2=X_{\beta }-A_2\circ D_{\beta },\\ Q_3=X_{\delta }-A_3\circ D_{\delta },\end{array}$$
  其中，$\circ$表示hardmard乘积，$r_1,r_2\sim$ Unif([0,1]), $A_i=a(2r_1-1),C_i=2r_2(i=1,2,3)$， $a=2(1-t/T)$(t是当前迭代次数，T是最大迭代次数)。如果$A_i,C_i$是分量，则每个分量都独立生成，以上运算按照广播规则。最后可以得到第$i$头狼的位置更新为
  $$\begin{array}{r}{X}_i\leftarrow \frac{1}{3}(Q_1+Q_2+Q_3).\end{array}$$
• Step4:不断重复Step3直至$\alpha$狼群的位置稳定。

二进制灰狼算法

• Step1: 根据优化的问题，设计fitness函数(目标函数，默认的是极小化问题)，设置可行域
• Step2: 初始化狼群的个数N，每头狼的位置$X_i(i=1,...,N)$，并指定$\alpha ,\beta ,\delta$狼的位置$X_{\alpha },X_{\beta },X_{\delta }$, 以及它们对应的适应度$f_{\alpha },f_{\beta },f_{\delta }=$inf.
• Step3: 依次更新每头狼的位置。对于第$i$头狼，计算其与$\alpha ,\beta ,\delta$狼的距离
  $$\begin{array}{r}{D}_{\alpha }=|C_1\circ X_{\alpha }-X_i|,\\ D_{\beta }=|C_2\circ X_{\beta }-X_i|,\\ D_{\delta }=|C_3\circ X_{\delta }-X_i|,\end{array}$$
  并产生向三头狼移动的趋势项
  $$\begin{array}{r}{Q}_1=X_{\alpha }-A_1\circ D_{\alpha },\\ Q_2=X_{\beta }-A_2\circ D_{\beta },\\ Q_3=X_{\delta }-A_3\circ D_{\delta },\end{array}$$
  其中，$\circ$表示hardmard乘积，$r_1,r_2\sim$ Unif([0,1]), $A_i=a(2r_1-1),C_i=2r_2(i=1,2,3)$， $a=2(1-t/T)$(t是当前迭代次数，T是最大迭代次数)。如果$A_i,C_i$是分量，则每个分量都独立生成，以上运算按照广播规则。最后可以得到第$i$头狼的位置更新为
  $$\begin{array}{r}{X}_i\leftarrow \{\begin{array}{l}1,ifsigmoid\left\{\frac{1}{3}(Q_1+Q_2+Q_3)\right\}\ge z\\ 0,otherwise.\end{array}\end{array}$$
  其中，$z\sim$unif([0,1]), sigmoid(x)=$\frac{1}{1+e^{-10(x-0.5)}}$.
• Step4:不断重复Step3直至$\alpha$狼群的位置稳定。
• 

代码

clear;clc; % 狼群数量 SearchAgents_no = 30; % 最大迭代次数 Max_iter = 200; % 变量维度 dim = 2; % 上限 ub = 10 * ones(1, dim); % 下限 lb = -10 * ones(1, dim); %%%%% 初始化 Alpha_pos = zeros(1, dim); Alpha_score = inf; Beta_pos = zeros(1, dim); Beta_score = inf; Delta_pos = zeros(1, dim); Delta_score = inf; % 初始化位置 Positions = rand(SearchAgents_no, dim) .* repmat(ub - lb, SearchAgents_no, 1) + repmat(lb, SearchAgents_no, 1); Convergence_curve = zeros(1, Max_iter); % 主循环 for l = 1 : Max_iter for i = 1:SearchAgents_no % 边界处理：越界赋值为边界值 Flag4ub = Positions(i, :) > ub; Flag4lb = Positions(i, :) < lb; Positions(i, :) = (Positions(i, :) .* (~(Flag4ub + Flag4lb))) + ub .* Flag4ub + lb .* Flag4lb; % 计算目标函数 fitness = ObjFun(Positions(i, :)); % 更新 Alpha、Beta 和 Delta if fitness < Alpha_score Alpha_score = fitness; Alpha_pos = Positions(i, :); end if fitness > Alpha_score && fitness < Beta_score Beta_score = fitness; Beta_pos = Positions(i, :); end if fitness > Alpha_score && fitness > Beta_score && fitness < Delta_score Delta_score = fitness; Delta_pos = Positions(i, :); end end % 线性递减 a = 2 - l * 2 / Max_iter; % 更新位置 for i = 1 : SearchAgents_no for j = 1: dim %%%%% 更新策略 r1 = rand(); r2 = rand(); A1 = 2*a*r1 - a; C1 = 2*r2; D_alpha = abs(C1*Alpha_pos(j) - Positions(i, j)); X1 = Alpha_pos(j) - A1*D_alpha; r1 = rand(); r2 = rand(); A2 = 2*a*r1 - a; C2 = 2*r2; D_beta = abs(C2*Beta_pos(j) - Positions(i, j)); X2 = Beta_pos(j) - A2*D_beta; r1 = rand(); r2 = rand(); A3 = 2*a*r1 - a; C3 = 2*r2; D_delta = abs(C3*Delta_pos(j) - Positions(i, j)); X3 = Delta_pos(j) - A3*D_delta; Positions(i, j) = (X1 + X2 + X3) / 3; end end Convergence_curve(l) = Alpha_score; end disp(['最优值：' num2str(Alpha_pos)]); disp(['最优值对应目标函数：' num2str(Convergence_curve(end))]); subplot(1, 2, 1) plot(Convergence_curve, 'LineWidth', 2); xlabel('迭代次数'); ylabel('适应度值'); title('适应度曲线'); len = 50; xRange = linspace(lb(1), ub(1), len); yRange = linspace(lb(2), ub(2), len); [xMap, yMap] = meshgrid(xRange, yRange); zMap = zeros(len); for i = 1 : len for j = 1 : len zMap(i, j) = ObjFun([xMap(i, j), yMap(i, j)]); end end subplot(1, 2, 2) surf(xRange, yRange, zMap); view(-45, -45); shading interp hold on plot3(Alpha_pos(1), Alpha_pos(2), ObjFun(Alpha_pos), 'o', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 10); hold off set(gcf, 'Position', [400, 200, 900, 400]); function result = ObjFun(x) x1 = x(1); x2 = x(2); t = x1^2 + x2^2; result = 0.5 + (sin(sqrt(t))^2 - 0.5) / (1 + 0.001 * t)^2; end 

参考文献

https://zhuanlan.zhihu.com/p/
https://zhuanlan.zhihu.com/p/
张晓凤, 王秀英. 灰狼优化算法研究综述[J]. 计算机科学, 2019, 046(003):30-38.
Mirjalili S, Mirjalili SM, Lewis A. Grey wolf optimizer. Adv Eng Software 2014;69:46–61

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